Deux suites d'intégrales

Modifié par Clemni

On considère les suites  (un) et  (vn) définies, pour tout entier naturel n , par
un=0111+xndx   et  vn=01nxn1+xndx .

1. Calculer u0 , v0 , u1  et v1 .

2. a. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout  nN vn=ln201ln(1+xn)dx .
    b. Démontrer que, pour tout réel t0 , on a  0ln(1+t)t .
    c. En déduire que  limn+vn=ln2 .

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a  vn+nun=n .
    b. En déduire la limite de la suite (un) .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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