Deux suites d'intégrales

On considère les suites  \(\left(u_{n}\right)\) et  \(\left(v_{n}\right)\) définies, pour tout entier naturel \(n\) , par
\(u_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^{n}}\mbox{d}x}\)   et  \(v_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{nx^{n}}{1+x^{n}}\mbox{d}x}\) .

1. Calculer \(u_0\) , \(v_0\) , \(u_1\)  et \(v_1\) .

2. a. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout  \(n\in\mathbb{N}\) ,  \(v_{n}=\ln2-{\displaystyle \int_{0}^{1}\ln\left(1+x^{n}\right)\mbox{d}x}\) .
    b. Démontrer que, pour tout réel \(t\geqslant0\) , on a  \(0\leqslant\ln\left(1+t\right)\leqslant t\) .
    c. En déduire que  \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}v_{n}=\ln2\) .

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a  \(v_{n}+nu_{n}=n\) .
    b. En déduire la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) .