Deux suites d'intégrales

On considère les suites  $\left(u_n\right)$ et  $\left(v_n\right)$ définies, pour tout entier naturel $n$ , par
$u_n={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{1+x^n}}\text{d}x}$   et  $v_n={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{n{x}^n}{1+x^n}}\text{d}x}$ .

1. Calculer $u_0$ , $v_0$ , $u_1$  et $v_1$ .

2. a. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout  $n\in \mathbb{N}$ ,  $v_n=\ln 2-{\displaystyle {\int }_0^1\ln (1+x^n)\text{d}x}$ .
    b. Démontrer que, pour tout réel $t⩾0$ , on a  $0⩽\ln (1+t)⩽t$ .
    c. En déduire que  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=\ln 2$ .

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a  $v_n+n{u}_n=n$ .
    b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ .